ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ. Сознание и мировосприятие. Понятие о размерности пространства

Мы начинаем новую тему, посвященную взаимосвязи сознания с окружающей реальностью. Поначалу может показаться, что эта тема не слишком близка к предмету естествознания, но это лишь первое впечатление. Нашей целью является объяснение того, что такое реальность и что она в себя включает? Что такое многомерье и многомирье? Благодаря чему можно выбирать реальность вокруг себя? Разумеется, мы по-новому взглянем на уже известные из предыдущей темы понятия ПРОСТРАНСТВА и ЭНЕРГИИ. 

Начнем с лекции, посвященной такому свойству пространства, как МЕРНОСТЬ. Что такое мерность пространства? Ответить уверенно на этот вопрос – означает поднять свое понимание окружающего на потенциально новый уровень. Отвечать на этот вопрос можно как с позиции материализма, так и с позиции идеализма, и ответы получатся разные. Наша же задача объяснить себе мерность с позиции РАДЕСЬ.

Самое простое и общее определение мерности – это количество параметров (координат), необходимых для задания положения тела (точки) в пространстве относительно выбранной точки отсчета. Другое определение, используемое в физике таково. Пространственная размерность – это количество независимых параметров, необходимых для описания состояния объекта, или число степеней свободы физической системы. С этой точки зрения размерность пространства – всегда целое натуральное число, ведь оно отражает “количество”. Ни о какой дробной размерности пространства нельзя и помышлять.

Но давай подумаем. Для того чтобы описать положение твердого тела в пространстве, необходимо не менее 6 координат! Абсолютно-твёрдое тело обладает шестью степенями свободы, так как для полного описания положения такого тела достаточно задать три координаты центра масс и три угла, описывающих ориентацию тела (эти величины известны в быту как «наклон, подъём, поворот», в авиации их называют «крен, тангаж, рыскание»). Но ведь это не значит, что всякое твердое тело располагается в шестимерном пространстве?

Рассмотрим другие примеры. Для того чтобы описать положение окружности на плоскости, необходимо три параметра: две координаты центра и радиус, то есть пространство окружностей на плоскости трёхмерно. Окружность может быть перемещена в любую точку плоскости и её радиус может быть изменён, поэтому у неё три степени свободы. Пространство точек на той же поверхности — двумерно; тем не менее, сама окружность — пространство точек на окружности — одномерна: любая её точка может быть описана одним параметром.

Как видно, мы сталкиваемся с некоторыми сложностями определения размерности пространства. Основа этой сложности заключается в том, что в случаях, касающихся вопросов естествознания, используются реальные физические объекты, а в случаях математических моделей – идеализированные образы. И очень редко, вышеозначенные объекты и образы, можно приравнивать друг к другу.

Математический (идеалистический) подход к описанию размерности сводится к универсальной роли точки   0-мерного объекта. Но насколько он близок к реальности? Каждая последующая размерность пространства сводится к правилам его заполнения точками. Прямая, плоскость, объем – все это в математике является множеством точек.

Вопрос вот в чем. Всякий отрезок заключает в себе бесконечное число точек. Если мы берем два отрезка разной величины/размера (ведь мы можем проделать такое даже в математике), то в каждом из них будет бесконечное число точек. Тогда в чем будет их различие? Ведь мы не можем сказать, что одна бесконечность больше другой. Отрезок имеет протяженность – то, чего нет у точек. Тогда как можно прямую представлять в виде множества точек? Кроме того, сколько бы мы не делили отрезок пополам, то мы всегда будем получать только отрезки результата деления, причем конечной величины, и никогда не получим точки.

Раньше долгое время считалось, что размерность пространства – это количество координат, необходимых для описания положения предмета в пространстве. Но это определение не раз подвергали критике. Несостоятельность такого наивного восприятия размерности стала очевидной после открытия взаимно-однозначного соответствия между точками отрезка и квадрата и непрерывного отображения отрезка на квадрат. Первое из них было построено Кантором, второе — Пеано. Действительно, рассмотрим точку, принадлежащую единичному квадрату (Рис.Е.5.1.) с координатами x=0,a1a2a3… и y=0,b1b2b3… в виде десятичных дробей. Здесь ai и bi — цифры в десятичной записи дробей. Сопоставим этой точке точку единичного отрезка с координатой z=0,a1b1a2b2a3b3…

Рисунок Е.5.1

Ясно, что разным точкам единичного квадрата таким отображением сопоставляются разные точки отрезка. В результате получаем взаимно однозначное отображение квадрата в отрезок. Наличие этих отображений привело к исчезновению ощущений, что квадрат или куб богаче отрезка по числу точек.

Очевидно, что мы не обладаем таким правом – представлять прямую в виде точек. Прямую мы можем мерить в отрезках прямых, так же как и треугольники на плоскости – в подобных же треугольниках. Только такое правило позволяет добиться НЕПРЕРЫВНОСТИ структуры пространства, какой бы то не было мерности. Если мы отказываемся от 0-мерного “эталона меры” пространственной размерности, то мы вынуждены так же отказаться от определения размерности пространства, как набора независимых параметров – степеней свободы 0-мерной точки (прямая, плоскость, объем).

Идеалистические представления могут быть удобны в манипулировании, но они принципиально не применимы к описанию реального физического объекта – ПРОСТРАНСТВА. Всякого рода приближения не могут и не являются аксиомами, и применимы только к приблизительным расчетам и моделированию.

Идея мерить отрезки отрезками, окружности – окружностями, кубы – кубами приводит нас к понятию МЕРЫ. Это понятие всегда связано непосредственно с измерительным процессом. Примерами мер служат: длина прямой, площадь плоских фигур, объем тел. Существует два правила, относящиеся к понятию меры:

1. Мера суммы нескольких объектов равна сумме мер этих объектов в отдельности.

2. Мера всегда связана с размерами объекта. И эта связь называется МЕТРИКОЙ.

Так, например, если сложить три отрезка длиной 1 см, 2 см и 3 см, то суммарная длина отрезка составит: 1 + 2 + 3 = 6 см. Как мы видим, для линейных тел мера всегда пропорциональна размеру. Если мы сложим два квадрата, один со стороной 3 см, другой со стороной 4 см, то мера суммарного квадрата (его площадь) будет равна: 9 + 16 = 25. В данном примере размер полученного квадрата не соответствует сумме размеров сторон первоначальных квадратов. Его мера квадратично зависит от размеров: 32+42=52.

Исходя из приведенных простейших примеров, мы можем записать зависимость между величиной меры объекта и его размерами:

Мера = [Размер] (РАЗМЕРНОСТЬ)

Так, например, привычная площадь – это Размер2, объем - это Размер3, длина отрезка – это Размер1.

Отсюда следует важный вывод, если фигуру уменьшить в N раз, то она будет укладываться  в исходной NРАЗМЕРНОСТЬ раз. Так, если уменьшить отрезок (Размерность = 1) в 10 раз, то он поместится в исходном отрезке ровно 10 раз (101=10). Если треугольник (Размерность = 2) уменьшить в 3 раза, то он уложится в исходном треугольнике 9 раз (32=9).

Аналогично, если кубик уменьшить вдвое, то нужно 23=8 уменьшенных кубиков, чтобы получить исходный.

Рисунок Е.5.2

Сформулируем обратное утверждение: если при уменьшении размера фигуры в N раз оказалось, что она укладывается в исходной  n раз (т.е. мера её уменьшилась в n раз), то размерность можно вычислить по формуле:

Размерность =

Вычисляемая таким образом величина называется размерность Хаусдорфа (проверь самостоятельно работу этой формулы на предыдущих примерах). Другое название размерности Хаусдорфа – фрактальная размерность. Фракталы – это формы пространства, обладающие дробной размерностью. На первый взгляд это может показаться чем-то невообразимым и даже жутким, но это только первое впечатление, впрочем, далее все поймешь сам.

Начнем с простого объекта под названием “звезда Коха”. Рассмотрим процесс ее построения. В начале берётся отрезок, делится на три равные части и средняя часть заменяется на два отрезка, равных изъятому. Получается ломаная линия из четырёх равных отрезков. На втором шаге, действия повторятся с каждым из четырёх отрезков, и получается ломаная из 16 отрезков. Эти построения повторяются бесконечное число раз, и, в конце концов, у нас получается ломаная, состоящая из бесконечного числа отрезков. Сколько бы мы её не масштабировали, мы всё равно будем получать подобное.

Рисунок Е.5.3

Давай оценим размерность такого объекта, согласно представленной ранее формуле. Из рисунка видно, что звезду можно разбить на четыре равные части, при этом размер (скажем, длина исходного отрезка) каждой части будет равен трети размера исходной фигуры. То есть, будучи уменьшена в 3 раза, она уложится в себя четырежды.

Полученная фигура – не ломаная, так как согласно математической договоренности, ломаная состоит из конечного числа отрезков, а здесь их число бесконечно. Это, очевидно, и не прямая - объект не является одномерным. Однако это и не полностью покрывающая некоторую площадь фигура. Что же это?

Давай изменим параметры нашей фигуры. Будем извлекать не  отрезка, а , тогда ломаная  будет получаться более “плотной”.

Рисунок Е.5.4

Теперь фигура уложится сама в себя четыре раза, после уменьшения в  раза. Вычислим ее размерность в этом случае.

Как мы видим, размерность фигуры заметно возросла. Что будет происходить с фигурой, если мы начнем уменьшать “извлекаемую” часть из первоначального отрезка? Характерные “пики” будут сужаться, а “плотность” заполнения плоскости рисунка точками фигуры будет возрастать до тех пор, как пики практически “сомкнутся”, и угол, образованный ими будет почти равняться нулю. И тогда плоскость рисунка окажется, почти равномерно, покрыта точками фигуры (в форме треугольника). В итоге первоначальный отрезок разделится почти на 2 равные части.

Размерность такой фигуры в произвольно выбранном приближении будет такой:

То есть, размерность близка к 2. Умозрительно можно проделать опыт, когда ты получишь полноценный двумерный треугольник при абсолютном смыкании “пиков”. Проделай обратную операцию по “вытягиванию” данной фигуры, и ты получишь в пределе прямую линию – одномерный объект.

Не менее интересная картинка получается, если сложить несколько “звезд Коха” и получить “снежинку Коха”.

Рисунок Е.5.5

Периметр такой фигуры бесконечен, как у бесконечно-одномерной прямой. И, несмотря на кажущуюся ограниченность фигуры, померить ее площадь невозможно, так как она не является двумерным объектом, а значит, применимая для двухмерных объектов мера для нее неприменима.

       Вопросы:

1. Что такое мерность?
2. Что такое размерность пространства?
3. Можно ли представить отрезок, как бесконечное множество точек? Ответ поясни.
4. Что такое непрерывность структуры пространства?
5. Что такое мера?
6. Что такое метрика?
7. Что такое фрактальная размерность?
8. Что такое фрактал?
9. Может ли размерность быть меньше единицы? Приведи примеры, если таковые существуют.

Практическое занятие:

На лекции мы пытались разобраться с тем, что такое мерность пространства применительно к реальным физическим объектам. Мы пришли к заключению, что больше всего для определения мерности структуры любого пространства подходит ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ.

Если быть справедливым, то нужно признать, что с подобным утверждением не все согласятся. Для многих - есть их, “родное” представление о размерности. Они его не променяют ни на какое-либо другое, утверждая, что фрактальная размерность – искусственно введенная размерность, не отражающая действительности. С такими людьми мы будем говорить просто о разных вещах и на разных языках.

Важно, что мы вводим фрактальную размерность из утверждения о НЕПРЕРЫВНОСТИ СТРУКТУРЫ пространства, не используя никаких приближений или умозрительных заключений. Так же необходимо понимать, что фрактальная размерность отражает связь между линейными свойствами пространства и его мерность, что вытекает из представленной формулы:

Мера = [Размер] (РАЗМЕРНОСТЬ)

Упражнение 1. Потренируемся в нахождении размерности некоторых простейших фракталов, открытых математиками много лет назад (по этой причине мы иногда будем называть такие фракталы “историческими”).

1. Канторовское множество. Возьмем отрезок длины 1. Разделив его на три равные части, исключим среднюю часть. С оставшимися двумя отрезками проделаем ту же процедуру и в результате получим 4 отрезка в 1/9 длины каждый и т.д. до бесконечности.

Рисунок Е.5.6

Нетрудно заметить, что длина L этого множества равна нулю. Действительно:

Найдем теперь его фрактальную размерность. Для этого выберем в качестве "эталона" отрезок длиной:

Минимальное число таких отрезков, необходимых для покрытия этого множества, равно N(ε) = 2n . Поэтому искомая фрактальная размерность:

2. Снежинка Коха.

                                 

Рисунок Е.5.7

Найдешь размерность “Снежинки Коха” самостоятельно.

3. Салфетка Серпинского.

Рисунок. Е.5.8

Найдешь размерность “Салфетки Серпинского” самостоятельно.

Существуют и другие типы фракталов. Например, некоторые из них называют “случайными”. Представим себе сферу (окружность в двумерном случае) достаточно большого радиуса на поверхности которой время от времени в случайных местах появляются частицы, которые затем диффундируют внутрь сферы. В центре сферы находится так называемый "зародыш". При столкновении с ним диффундирующая частица "прилипает" к нему и больше не движется. Затем с этим образованием сталкивается следующая, выпущенная с поверхности сферы частица, и так до бесконечности. Поток частиц с поверхности сферы будем считать достаточно малым, так что столкновениями диффундирующих частиц друг с другом можно пренебречь. В результате образуется очень пористая структура, в двумерном случае изображенная на рисунке.

Рисунок Е.5.9

Большие поры внутри "экранируются" отростками достаточно большой длины. По мере роста структуры число пор и их размеры увеличиваются. В двумерном случае фрактальная размерность такого кластера оказывается близка к значению 1.7.

В природе подобные фрактальные кластеры встречаются очень часто. Так, например, растут кораллы, опухоли в живых организмах, обычная печная сажа, кристаллы из пересыщенного раствора, снежинки. В суперионных проводниках, например, AgBr, такие кластеры ограничивают время их практического использования. Поскольку, при достаточно длительном прохождении тока, подвижные ионы серебра, соединяясь, образуют фрактальный кластер, который, в конце концов, замыкает электроды и выводит образец проводника из строя.

Упражнение 2. Данное упражнение показывает, что расчет береговой линии материков и островов – не такая простая задача, как кажется. Побережье является еще одним примером случайного фрактала.

Рисунок Е.5.10

Опыт показывает, что длина береговой линии L зависит от масштаба l, которым проводятся измерения, и увеличивается с уменьшением последнего по степенному закону
L = Λ l-α,      Λ = const . Так, например, для побережья Великобритании α ≈ 0.3. Происхождение такой зависимости понятно: чем меньше масштаб мы используем, тем меньшие детали побережья будут учтены и дадут вклад в измеряемую длину. Наоборот, увеличивая масштаб, мы "спрямляем" побережье, уменьшаем тем самым его длину L. Число раз N, которое измерительный масштаб l укладывается вдоль побережья, равно:

[Описание: Изображение]

При таком подходе береговая линия Великобритании представляет собой фрактал с размерностью D = 1+α ≈ 1.3.

Упражнение 3. Перейдем к другим примерам фракталов в окружающей нас природе.

Геофракталы. К этому классу природных фракталов относятся береговые линии, горы, долины рек, а так же облака и вихри.

Рисунок Е.5.11*. Геофракталы

Рисунок Е.5.12*. Фракталы растений

Рисунок Е.5.13*. Фракталы колоний бактерий

Рисунок Е.5.14*. Фракталы в биологии

Рисунок Е.5.15*. Фракталы электрических разрядов и молний

Рисунок Е.5.16*. Фракталы воды, снежинок

Все представленные выше фракталы – лишь малая доля из тех, что нас окружают. Очень интересна причина, по которой все в природе стремится к упорядочению согласно фрактальным принципам. Размерность пространственных структур, лежащих в основе форм, избираемых природой, никогда не принимает целочисленных значений. Всюду дробные мерности пространства, как способа организации сложных структур. 

Например, кровеносная система человека имеет размерность 2,4 – 2,6. Ты считаешь свой организм трехмерным, объемным? Кровеносная система проникает в каждый уголок твоего организма, питая каждую клеточку тела. В то же время она не занимает весь объем твоего тела. В силу НЕПРЕРЫВНОСТИ СТРУКТУРЫ пространства кровеносная система не является трехмерным образованием. Так же как и организм в целом не заполняет все пространство внутри себя своей структурой.

   

Рисунок Е.5.17

Рисунок Е.5.18

Фракталы образуются тогда, когда существует некоторая граница раздела (границы фаз). Подобные границы раздела в природе встречаются повсеместно. Например, в случае с фрактальным образованием перистых облаков, границей является холодный атмосферный фронт. Любые трещины, разряды, горные хребты, русла рек, различного рода дефекты структур и многое другое имеет тот же принцип образования.

Задание 1. Ощути принцип взаимосвязи и динамики пространственных структур всеразличных мерностей. Оцени их масштабность и глубину, важность и предназначение. Подумай над тем, как динамика мерности пространства сказывается на окружающей природе?